Question

20．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（0，$\sqrt{3}$），離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點（1，0）且斜率為1的直線被橢圓C所截線段的長度．

Answer 1

分析 （1）求出b，根據(jù)e²=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，求出a的值，所以即可得到橢圓方程．
（2）求出直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長公式求出線段的長度即可．

解答 解：（1）依題意有b=$\sqrt{3}$，e²=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，所以a=2，
所求方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由題意直線l：y=x-1，設(shè)l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消去y得7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以根據(jù)弦長公式得到AB=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{24}{7}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．