Question

某地區(qū)1986年以來人口總數(shù)和居民住宅總面積分別按等比數(shù)列和等差數(shù)列逐年遞增．已知1986年底人均住房面積為10m²，2006年底人均住房面積為20m²．據(jù)此計算：
（1）1996年底人均住房面積超過14m²，試給出證明；
（2）若人口年平均增長率不超過3%，能否確保2008年底人均住房面積比2006年底有所增加？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)人口總數(shù)和居民住宅總面積分別按等比數(shù)列和等差數(shù)列逐年遞增，可得2006年底人均住房面積，進而可得1996年底人均住房面積，故可證．
（2）線計算2008年與2006年底人均住房面積之差再利用導數(shù)的方法，即可解決．

解答：解：（1）設86年底人口總數(shù)為a，住宅總面積10a，年人口增長的公比為q（即后一年是前一年人口的q倍），年住宅總面積的公差為d，則2006年底人均住房面積為s=

10a+20d

aq20

=20，則10d=5（2q²⁰-1）a，
故1996年底人均住房面積A=

10a+10d

aq10

=

10q20+5

q10

≥2

50

＞14．
（2）2008年底人均住房面積p=

10a+22d

aq22

=

22q20-1

q22

，
2008年與2006年底人均住房面積之差△s=p-20=

22q20-20q22-1

q22

．
∵q＞0，∴只需考慮分子f（q）=22q²⁰-20q²²-1=2q²⁰（11-10q²）-1（q＞1）．
∵f'（q）=440（q¹⁹-q²¹）＜0，∴f（q）單調遞減．
又q≤1.03，∴f（q）≥f（1.03）=2×1.03²⁰（11-10×1.03²）-1，
∴11-10×1.03²＞0.39，2×1.03²⁰=2×（1+0.03）²⁰＞2×（1+20×0.03）=3.2．
∴f（q）＞3.2×0.39-1＞0．
此即表明，2008年底人均住房面積仍超過2006年底人均住房面積．

點評：本題以數(shù)列為載體，考查實際運用，關鍵是正確理解數(shù)列模型，從而構建代數(shù)式，有一定的綜合性．