Question

【題目】已知拋物線C：y2=4x 的焦點為F．
（1）點A，P滿足 ．當點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關于直線y=2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設動點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（xA，yA），則 ，

因為F的坐標為（1，0），所以 ，

由 ，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．

即 ，解得

代入y2=4x，得到動點P的軌跡方程為y2=8﹣4x．

（2）解：設點Q的坐標為（t，0）．點Q關于直線y=2x的對稱點為Q′（x，y），

則 ，解得 ．

若Q′在C上，將Q′的坐標代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或 ．

所以存在滿足題意的點Q，其坐標為（0，0）和（ ）．

【解析】（1）設出動點P和A的坐標，求出拋物線焦點F的坐標，由 得出P點和A點的關系，由代入法求動點P的軌跡方程；（2）設出點Q的坐標，在設出其關于直線y=2x的對稱點Q′的坐標，由斜率關系及中點在y=2x上得到兩對稱點坐標之間的關系，再由點Q′在拋物線上，把其坐標代入拋物線方程即可求得Q點的坐標．