Question

2．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+2=a_n（a_n+1）${\;}^{-\frac{3}{2}}$（n∈N^*），若a₂=$\frac{1}{4}$，則猜想a₂₀₁₄的值為${2}^{{2}^{2013}}$．

Answer 1

分析 通過(guò)計(jì)算出前幾項(xiàng)的值猜想a_n=${2}^{（-1）^{n}•{2}^{n-1}}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，a₃=a₁（a₂）${\;}^{-\frac{3}{2}}$
=2•$（{2}^{-2}）^{-\frac{3}{2}}$
=2⁴，
a₄=a₂•$（{a}_{3}）^{-\frac{3}{2}}$
=2^-2•${2}^{4•（-\frac{3}{2}）}$
=2^-8，
猜想：a_n=${2}^{（-1）^{n}•{2}^{n-1}}$．
∴a₂₀₁₄=${2}^{（-1）^{2014}•{2}^{2014-1}}$=${2}^{{2}^{2013}}$，
故答案為：${2}^{{2}^{2013}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．