Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù) f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求函數(shù)f（x）的值域．
（3）在（2）的條件下，若對(duì)t∈[1，3]，不等式f（2t²+2）+f（-t²-kt+2）≤0 恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=b=1代入即可得到f（x）的解析式，選擇一個(gè)特殊值，利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)式R上的奇函數(shù)，列出方程，求出a和b的值，得到f（x）的解析式，再利用2^x＞0，依次遞推，即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（3）先判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再結(jié)合f（x）的奇偶性，即可將不等式f（2t²+2）+f（-t²-kt+2）≤0在恒成立，轉(zhuǎn)化為2t²+2≥t²+kt-2對(duì)t∈（1，3]恒成立，利用參變量分離法轉(zhuǎn)化成求最值，求解即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=

-2x+1

2x+1+1

，
∴f（-1）=

1

4

，f（1）=-

1

5

∵f（-1）≠-f（1），
∴當(dāng)x∈R，f（-x）=-f（x）不恒成立，
故f（x）不是奇函數(shù)；
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，解得

a=2 b=1

，
∴f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵當(dāng)x∈R時(shí)，2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-

1

2

＜f（x）＜

1

2

，
故f（x）值域是（-

1

2

，

1

2

）；
（3）∵f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵y=2^x+1在R上單調(diào)遞增，則y=

1

2x+1

在R上單調(diào)遞增減，
∴f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，
∵不等式f（2t²+2）+f（-t²-kt+2）≤0，
∴f（2t²+2）≤-f（-t²-kt+2）
又∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（2t²+2）≤f（t²+kt-2），
又f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴2t²+2≥t²+kt-2對(duì)t∈（1，3]恒成立，即k≤t+

4

t

設(shè)g（t）=t+

4

t

≥2

t• 4 t

=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào)，
∴g（t）_min=g（2）=4，
∴k≤4，
故k的取值范圍為k≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)解析式的求解，函數(shù)值域的求解，函數(shù)恒成立問(wèn)題的求解．奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．函數(shù)恒成立問(wèn)題的，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于中檔題．