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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，且與其中一條漸近線垂直，若
AF
=4
FB
，則該雙曲線的離心率為
 
．
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=
b
a
x，則另一漸近線OB的方程為y=-
b
a
x，設(shè)A（m，
bm
a
），B（n，-
bn
a
），由
AF
=4
FB
，得到m，n的關(guān)系，求出A，B的坐標(biāo)，由FB⊥OB可得，斜率之積等于-1，進(jìn)而可得a、b的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線a、b、c的關(guān)系，可得離心率．
解答： 解：由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=
b
a
x，
則另一漸近線OB的方程為y=-
b
a
x，
設(shè)A（m，
bm
a
），B（n，-
bn
a
），
∵
AF
=4
FB
，
∴（c-m，-
bm
a
）=4（n-c，-
bn
a
），
∴c-m=4（n-c），-
bm
a
=-4
bn
a
，解之可得m=
5c
2
，n=
5c
8
，
∴B（
5c
8
，-
5bc
8a
），由FB⊥OB可得，斜率之積等于-1，
即
-5bc
8a
-0
5c
8
-c
•
-5bc
8a
5c
8
=-1，化簡(jiǎn)可得5b2=3a2，即5（c2-a2）=3a2，
解之可得5c2=8a2，即e=
c
a
=
2
10
5
．
故答案為：
2
10
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及離心率的求解，考查向量共線知識(shí)，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
(
1
x
-2x)6，x＜0
-
x
，x≥0
則x＞0時(shí)，f[f（x）]表達(dá)式中的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
 
．（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班60人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的2×2列聯(lián)表：
喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)
男生24832
女生121628
合計(jì)362460
（I）用分層抽樣的方法在喜愛打籃球的學(xué)生中抽6人，其中男生抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的人中選2人，求恰有一名女生的概率；
（Ⅲ）你是否有95%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由．
下面的臨界值表供參考：
P（X2≥x0）或P（K2≥k0）0.100.050.0100.005
x0（或k0）2.7063.8416.6357.879
（參考公式：X2=
n(n11n13-n13n21)2
n1+n2+n+1n+1
，其中n=n11+n12+n21+n12或K2=
n(nd-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中n=a+b+c+d））

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA=
6
，
E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)棱PD上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥BF；
（2）當(dāng)直線PE∥平面ACF時(shí)，求三棱錐F-ACD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是某班第1和第2小組學(xué)生身高的莖葉圖（單位：cm），則這兩個(gè)小組學(xué)生身高中位數(shù)的等差中項(xiàng)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
16
=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上一點(diǎn)，如果||PF1|-|PF2||=4，那么雙曲線C的方程為
 
；離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數(shù)值；
（Ⅲ）求多面體ABCDFE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面α⊥平面β，交于直線l，且直線a?α，直線b?β，則下列命題錯(cuò)誤的是（　�。�
A、若a∥b，則a∥l或b∥l
B、若a⊥b，則a⊥l且b⊥l
C、若直線a，b都不平行直線l，則直線a必不平行直線b
D、若直線a，b都不垂直直線l，則直線a必不垂直直線b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在集合{a，b，c，d}上定義兩種運(yùn)算⊕和?如下，那么d?（a⊕c）=（　�。�
A、aB、bC、cD、d

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同步練習(xí)冊(cè)答案