Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．

(1)證明AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明平面AED⊥平面A₁FD₁．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由正方體ABCD－A1B1C1D1，可得AD⊥面D1DCC1．∵D1F面D1DCC1，∴AD⊥D1F． 　　(2)解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，則易證得A1G∥D1F． 　　又正方形A1ABB1中，E、G分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)， 　　∴A1G⊥AE．∴D1F⊥AE． 　　∴AE與D1F所成的角為90°． 　　(3)證明：由正方體可知A1D1⊥面A1ABB1， 　　∴A1D1⊥AE．又由(2)已證D1F⊥AE． 　　∵A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1FD1． 　　又AE平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1．

提示：

(1)欲證線線垂直，先證線面垂直．由于易得AD⊥面D1DCC1，又D1F在平面上，所以AD⊥D1F． 　　(2)求異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為求共面直線所成的角，方法是在其中一條直線所在平面內(nèi)作另一條直線的平行線后求它們所成的角． 　　(3)欲證面面垂直，先證線面垂直．設(shè)法證明AE垂直于平面A1FD1，這又要轉(zhuǎn)化為證線線垂直，即證明AE與平面A1FD1內(nèi)兩條相交直線A1D1、D1F分別垂直即可，這利用第(2)題的結(jié)論不難證明．