Question

已知定義在R上的函數f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=

3

2

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）解方程即可；
（2）將m分離出來，然后求等號另一邊關于x的函數的最值，借助于單調性求該函數的最值．

解答： 解：（1）由f(x)=

3

2

⇒2x-

1

2x

=

3

2

⇒2•(2x)2-3•2x-2=0．
（2^x-2）（2^x+1）=0
∵2^x＞0⇒2^x=2⇒x=1．
（2）由2tf(2t)+mf(t)≥0⇒2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0
m（2^t-2^-t_）≥-2^t（2^2t-2^-2t），
又t∈[1，2]⇒2^t-2^-t＞0，
m≥-2^t（2^t+2^-t）
即m≥-2^2t-1．
只需m≥（-2^2t-1）_max
令y=-2^2t-1，易知該函數在t∈[1，2]上是減函數，所以ymax=-22-1=-5．
綜上 m≥-5．

點評：本題的第二問要仔細體會將不等式恒成立問題轉化為函數的最值問題來解得基本思路，要注意總結．同時要注意利用換元法在此類問題時，中間變量t的范圍．