Question

已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)＞-2x的解集為(1,3).

（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；

（2）若f(x)的最大值為正數，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：因為本題給出解析式特征，可采取待定系數法求解.

解：（1）∵f(x)+2x＞0的解集為(1,3),f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0，?

因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a.①?

由方程f(x)+6a=0,得ax²-(2+4a)x+9a=0.     ②?

因為方程②有兩個相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］²-4a9a=0，即5a²-4a-1=0.

解得a=1或a=-.

由于a＜0,舍去a=1.?

將a=-代入①得f(x)的解析式為f(x)=-x²-x-.

（2）由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a=a(x-)²-及a＜0,可得f(x)的最大值為-.

由,解得a＜-2-或-2+＜a＜0.

?故當f(x)的最大值為正數時，實數a的取值范圍是(-∞,-2-)∪(-2+,0).