Question

已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線,當n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)時，該圖象是斜率為b_n的線段(其中正常數(shù)b≠1），該數(shù)列｛x_n｝由f(x_n）=n(n=1,2,…)定義.

(Ⅰ)求x₁、x₂和x_n的表達式；

(Ⅱ)求f(x)的表達式，并寫出其定義域；

(Ⅲ)證明：y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.

Answer 1

(Ⅰ)解：依題意f(0)=0,又由f(x₁）＝1，當0≤y≤1時，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b⁰＝1的線段，

 

故由＝1得x₁＝1．

 

又由f(x₂）＝2，當1≤y≤2時，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段，故由?

 

＝b，即x₂－x₁＝得x₂＝1＋．記x₀＝0，

 

由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為b^n－1，故得?＝b^n－1．?

 

又f(x_n）＝n, f(x_n－1）＝n－1；

 

∴x_n－x_n－1＝（）^n－1，n＝1，2，…．?

由此知數(shù)列｛x_n－x_n－1｝為等比數(shù)列，其首項為1，公比為．?

 

因b≠1，得x_n＝x_k－x_k－1）＝1＋＋…＋＝，

 

即x_n＝．

 

(Ⅱ)解：當0≤y≤1，從(Ⅰ)可知y=x,即當0≤x≤1時，f(x)=x.?

 

當n≤y≤n＋1時，即當x_n≤x≤x_n＋1時，由(Ⅰ)可知

 

f(x)=n+bⁿ（x－x_n）（x_n≤x≤x_n＋1，n＝1，2，3，…）．

 

為求函數(shù)f(x)的定義域，須對x_n＝(n＝1，2，3，…）進行討論.??

 

當b＞1時，x_n＝＝；?

 

當0＜b＜1時，n→∞，x_n也趨向于無窮大.

綜上，當b＞1時，y=f(x)的定義域為［0，）；?

 

當0＜b＜1時，y=f(x)的定義域為［0，＋∞）．?

 

(Ⅲ)證法一：首先證明當b＞1，1＜x＜時，恒有f(x)＞x成立.

用數(shù)學歸納法證明：?

 

(ⅰ)由(Ⅱ)知當n=1時，在(1，x₂］上，y=f(x)=1+b(x-1),所以f(x)-x=(x-1)(b-1)＞0成立?

 

(ⅱ)假設(shè)n=k時在（x_k，x_k＋1］上恒有f(x)＞x成立??

 

可得f(x_k＋1）＝k＋1＞x_k＋1，?

 

在（x_k＋1，x_k＋2］上，f(x)＝k＋1＋b^k＋1（x－x_k＋1），?

 

所以f(x)-x=k+1+b^k＋1（x－x_k＋1）－x＝（b^k＋1－1）（x－x_k＋1）＋（k＋1－x_k＋1）＞0成立.

 

由(ⅰ)與(ⅱ)知，對所有自然數(shù)n在（x_n，x_n＋1］上都有f(x)＞x成立.

即1＜x＜時，恒有f(x)＞x．?

 

其次，當b＜1，仿上述證明，可知當x＞1時，恒有f(x)＜x成立??

 

故函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點??

 

證法二：首先證明當b＞1，1＜x＜時，恒有f(x)＞x成立??

對任意的x∈（1，），存在x_n，使x_n＜x≤x_n＋1?，?

 

此時有f(x)-f(x_n）＝bⁿ（x－x_n）＞x－x+n（n≥1），∴f(x)-x＞f(x_n）－x_n．

 

又f(x_n）＝n＞1＋＋…＋＝x_n，∴f(x_n）－x_n＞0，?

 

∴f(x)-x＞f(x_n）－x_n＞0．?

 

即有f(x)＞x成立?

其次，當b＜1，仿上述證明，可知當x＞1時，恒有f(x)＜x成立.?

故函數(shù)f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.

 

評述：本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推理和綜合的能力.