Question

已α、β都是銳角，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，求證：α+β=

π

4

．

Answer 1

分析：由sinα與sinβ的值，根據(jù)α，β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出cosα和cosβ的值，然后利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（α+β），把各自的值代入即可求出cos（α+β）的值，根據(jù)α，β的范圍求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+β的度數(shù)，得證．

解答：證明：∵α、β都是銳角，sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，cosβ=

1-sin2β

=

3 10

10

，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
又α+β∈（0，π），
∴α+β=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．