Question

如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC．

(1)求證：BE∥平面PDA；

(2)若平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°，則線段PD是線段AD的幾倍？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC平面PDA 　　∴EC∥平面PDA， 　　同理可得BC∥平面PDA． 　　∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC＝C． 　　∴平面BEC∥平面PDA． 　　又∵BE?平面EBC， 　　∴BE∥平面PDA．5分 　　(2)法一：延長PE與DC的延長線交于點G，連結GB， 　　則GB為平面PBE與ABCD的交線．7分 　　∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB． 　　∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上， 　　∴DB⊥BG． 　　∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D， 　　∴BG⊥面PDB，∴BG⊥PB， 　　∴∠PBD為平面ABE與平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PBD＝45°，10分 　　∴PD＝DB＝AD，即＝． 　　∴當平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°時，線段PD是AD的倍．14分 　　法二：如圖，以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系．設該簡單組合體的底面邊長為1，設PD＝a，則B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，a)，E(0，1，)． 　　∴＝(1，1，－a)，＝(0，1，－) 　　設n＝(x，y，z)為平面PBE的一個法向量，則． 　　令z＝2，得y＝a，x＝a，即n＝(a，a，2)． 　　顯然＝(0，0，a)為平面ABCD的法向量，9分 　　∴cos45°＝，解得a＝，即＝． 　　∴當平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°時，線段PD是AD的倍．