Question

【題目】已知點，點為動點，以為直徑的圓內(nèi)切于.

（1）證明為定值，并求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，直線過點且與垂直，與交于兩點，為的中點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知及橢圓的定義可得到點的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系表達三角形的底和高代入三角形的面積公式利用函數(shù)求最值.

（1）設(shè)以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則，

由

所以，為定值，

由

所以，點的軌跡為以，為焦點的橢圓；

則，，

所以，點的軌跡方程為：；

（2）設(shè)

由，消去得，

易得，△．

為的中點，，

設(shè)，，，，

又到的距離

所以，

設(shè)，則

所以，

記，在，上遞增，（1），

所以，的最大值為，即，的面積的最大值為．