Question

【題目】設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，若存在函數(shù)使得對函數(shù)定義域內(nèi)的任意都有，則稱函數(shù)為函數(shù)的“Inverse”函數(shù).

（1）判斷下列哪個函數(shù)是函數(shù)的“Inverse”函數(shù)并說明理由.

①；②；

（2）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，證明函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù)的充要條件是函數(shù)的值域為；

（3）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，函數(shù)為的一個“Inverse”函數(shù)，記，其中，若對函數(shù)定義域內(nèi)的任意都有，求所有滿足條件的函數(shù)的解析式.

Answer 1

【答案】（1）②是函數(shù)f(x)=log2x的“Inverse”函數(shù)，理由見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）分別判斷①和②是否滿足即可得到結(jié)果；

（2）先證充分性，若函數(shù)的值域為，設(shè)其定義域為D，則函數(shù)的定義域為，值域為D， 令，，判斷是否滿足，證明其存在性，再設(shè)函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同，利用反證法證明唯一性；再證必要性，若函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù)，同樣利用反證法，假設(shè)函數(shù)的值域為，令，，通過證明函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同，這與唯一性矛盾，從而得證；

（3）由（2）知，是的一個“Inverse”函數(shù)，易得，，即，根據(jù)一一對應(yīng)的性質(zhì)可得，所以.

（1）易得，對于①，，故①不是，

對于②，，故②是函數(shù)的“Inverse”函數(shù)；

（2）先證充分性，若函數(shù)的值域為，設(shè)其定義域為D，

則函數(shù)的定義域為，值域為D，

令，，

則對任意都有，，

故函數(shù)為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)，存在性得證；

設(shè)函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同，

則存在，，，且，因為的值域為，

故存在，使得，即，，

則，矛盾，故唯一性得證.

所以函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù).

再證必要性，若函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù)，

即存在唯一的函數(shù)滿足，下面用反證法證明必要性.

假設(shè)函數(shù)的值域為，

令，，

則對任意都有，，

且，，

函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同，這與唯一性矛盾，

所以函數(shù)的值域為，必要性得證.

綜上，函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù)的充要條件是函數(shù)的值域為；

（3）由（2）知，是的一個“Inverse”函數(shù)，

由反函數(shù)的性質(zhì)可知，和都是一一對應(yīng)的.

則，

又，則，

即，根據(jù)一一對應(yīng)的性質(zhì)可得，

則，所以滿足條件的函數(shù)的解析式為.