Question

5．已知函數(shù)f（x）=ae^x-x（a∈R），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類，當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）=ae^x-x為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時，由導(dǎo)函數(shù)為0求得導(dǎo)函數(shù)的零點，再由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立，等價于ae^x-x≥e^-x恒成立，分離參數(shù)a，可得$a≥\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$恒成立．令g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$，則問題等價于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ae^x-x，得f′（x）=ae^x-1，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）=ae^x-x為R上的減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，令ae^x-1=0，得x=lna，
若x∈（-∞，-lna），則f′（x）＜0，此時f（x）為的單調(diào)減函數(shù)；
若x∈（-lna，+∞），則f′（x）＞0，此時f（x）為的單調(diào)增函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）=ae^x-x為R上的減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，若x∈（-∞，-lna），f（x）為的單調(diào)減函數(shù)；
若x∈（-lna，+∞），f（x）為的單調(diào)增函數(shù)．
（Ⅱ）由題意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立，等價于ae^x-x≥e^-x恒成立，
即x∈[1，2]，$a≥\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$恒成立．
令g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$，則問題等價于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值．
由g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1}{{e}^{2x}}+\frac{x}{{e}^{x}}$，函數(shù)y=$\frac{1}{{e}^{2x}}$在[1，2]上單調(diào)遞減，
令h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x∈[1，2]，h′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}≤0$．
∴h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x∈[1，2]上也是減函數(shù)，
∴g（x）在x∈[1，2]上也是減函數(shù)，
∴g（x）在[1，2]上的最大值為g（1）=$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$．
故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立的實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了利用分離變量法求函數(shù)的最值，是中檔題．