Question

【題目】（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題9分）

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，如果存在函數(shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個(gè)等值域變換．

（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個(gè)等值域變換？說(shuō)明你的理由；

，；

，．

（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，那么“”是否為“是的一個(gè)等值域變換”的一個(gè)必要條件？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)的定義域?yàn)?/span>，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）不是；（3），.

【解析】

試題（1）根據(jù)定義易得①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）舉反例易知“” 不是“是的一個(gè)等值域變換”的一個(gè)必要條件；（3）由題可得的值域?yàn)?/span>，所以在上恒成立，求得，.

試題解析：（1）①不是等值域變換，

②，即的值域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，即的值域仍為，所以 是的一個(gè)等值域變換，故①不是等值域變換，②是等值域變換；

（2）不必要性的反例：，，

此時(shí)，但的值域仍為，

即是的一個(gè)等值域變換，（反例不唯一）

∴ “” 不是“是的一個(gè)等值域變換”的一個(gè)必要條件；

（3）定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，∴ 的值域?yàn)?/span>，

，

∴ 恒有， 解得.