Question

18．如圖，在三棱錐A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥BD；
（Ⅱ）設(shè)平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接AO，EO，證明AO⊥BD，CD⊥BD，EO⊥BD．推出BD⊥平面AOE，然后證明AE⊥BD．
（Ⅱ）利用三棱錐D-ABC與C-ABD的體積相等，求出S_△ABD，然后求解三棱錐C-ABD的體積即可．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接AO，EO，∵AB=AD，∴AO⊥BD，又∵E為BC的中點(diǎn)，∴EO∥CD，∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．…（3分）
∵OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE，又∵AE?平面AOE，∴AE⊥BD．…（6分）

（Ⅱ）解：由已知得三棱錐D-ABC與C-ABD的體積相等．…（7分）
∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$2\sqrt{3}$．
由已知可得：S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•$\sqrt{A{D}^{2}-\frac{B{D}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}$．
∴三棱錐C-ABD的體積${V_{C-ABD}}=\frac{1}{3}×CD×{S_{△ABD}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
所以，三棱錐D-ABC的體積為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，空間想象能力．