Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中b_n=$\frac{1}{n}$，求證：n≥2時，1+lnn＞S_n．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍．
（2）先證明lnx＞1-$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上成立，令x=$\frac{k+1}{k}$得  ln（k+1）-lnk＞$\frac{1}{k+1}$，再令k=1，2，3，…，（n-1），疊加，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
a＞0時：
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥1．
a＜0時：
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≤0對x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$對x∈[1，+∞）恒成立，
而$\frac{1}{x}$＞0在[1，+∞）恒成立，
故a＜0不合題意，
綜上：a≥1．
（2）證明：由（1）可知，
a=1時，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，
函數(shù)f（1）=0，
∴l(xiāng)nx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上成立，
令x=$\frac{k+1}{k}$得  ln（k+1）-lnk＞$\frac{1}{k+1}$令k=1，2，3，…，（n-1），
可得ln2-ln1＞$\frac{1}{2}$，ln3-ln2＞$\frac{1}{3}$，…，lnn-ln（n-1）＞$\frac{1}{n}$，
∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)an=$\frac{1}{n}$，S_n是前n項(xiàng)和，
∴疊加，可得S_n-1＜lnn（n≥2），
即1+lnn＞S_n．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)函數(shù)．