Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)，，，是橢圓上任意三點(diǎn)，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足.

（1）求橢圓的方程.

（2）若斜率為的直線與圓：相切，與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，求時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由題意設(shè)出，，的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差可得a與b的關(guān)系，結(jié)合右焦點(diǎn)坐標(biāo)解得a，b即可.

（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系將用k與m表示，再利用直線與圓相切得到k，m的關(guān)系，代入表達(dá)式，得到關(guān)于k的不等式，解得k的范圍即可．

（1）由題可設(shè)，，，

所以兩式相減得，

.即，

所以，又，，所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線方程為，交橢圓于點(diǎn)，.

聯(lián)立方程

，得，

，.

所以

=，

因?yàn)橹本�與圓相切，所以，

即，代入，得.

所以

因?yàn)?/span>，所以，

化簡(jiǎn)得，或（舍）.

所以或，

故k的取值范圍為.