Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的引斜率為k的直線與橢圓C相交于兩點G、H，設P為橢圓C上一點，且滿足

OG

+

OH

=t

OP

（O為坐標原點），當|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

時，求實數(shù)t的取值范圍？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

2

2

，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設直線y=k（x-2），聯(lián)立橢圓，△＞0，得k2＜

1

2

，條件|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

轉換一下就是|

GH

|＜

2 5

3

，根據(jù)弦長公式，得到k2＞

1

4

，然后把

OG

+

OH

=t

OP

把P點的橫縱坐標用t，x₁，x₂表示出來，設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），其中要把y₁，y₂分別用直線代換，最后還要根據(jù)根系關系把x₁，x₂消成k，得P(

8k2

t(1+2k2)

，

-4k

t(1+2k2)

)，代入橢圓，得到關系式t2=

16k2

1+2k2

，所以t2=

16

1 k2 +2

，根據(jù)

1

4

＜k2＜

1

2

利用已經(jīng)解的范圍得到(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

2

2

，
∴b=1，

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+c²，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1…（3分）
（2）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
設直線y=k（x-2），聯(lián)立橢圓，可得（1+2k²）x²-8kx+8k²-2=0
△=（-8k）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

，…（5分）
條件|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

轉換一下就是|

GH

|＜

2 5

3

，
∵x₁+x₂=

8k

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

根據(jù)弦長公式，

1+k2

•

( 8k 1+2k2 )2-4• 8k2-2 1+2k2

＜

2 5

3

，得到k2＞

1

4

．…（7分）
設P（x，y），則
∵

OG

+

OH

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

1

t

（x₁+x₂），y=

1

t

（y₁+y₂）
根據(jù)x₁+x₂=

8k

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，把x₁，x₂消成k，得P(

8k2

t(1+2k2)

，

-4k

t(1+2k2)

)（9分）
然后代入橢圓，得到關系式t2=

16k2

1+2k2

，…（11分）
∴t2=

16

1 k2 +2

，
∵

1

4

＜k2＜

1

2

，
∴實數(shù)t的取值范圍為(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)…（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，有難度．