Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F₁，F₂，其中F₂也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且MF2=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點A（1，m）（m＞0）是橢圓C₁上一點，E，F是橢圓C₁上的兩個動點，若直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，探求直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用拋物線的定義及其性質可得焦點F₂、交點M的坐標，把點M的坐標代人橢圓的方程及a²=b²+c²即可得出；
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得

1

4

+

m2

3

=1，解得m=

3

2

，得到A(1，

3

2

)．設直線AE的方程為y=k(x-1)+

3

2

，與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系即可得到點E的橫坐標，進而得到坐標；把k換成-k即可得到點F的坐標，利用斜率公式求得直線EF的斜率．

解答：解：（I）設M（x₁，y₁），
由拋物線C2：y2=4x的方程，得焦點（1，0），
∴F₂（1，0），又|MF2|=

5

3

．
由拋物線定義，x1+1=

5

3

，∴x1=

2

3

，
∵

y

2 1

=4x1，∴y1=

2 6

3

，∴M(

2

3

，

2 6

3

)，
∵M點C₁上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1，又b2=a2-1，
∴9a²-37a²+4=0，∴a²=4或a2=

1

9

．
而a2=

1

9

＜1=c2，應舍去．
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得

1

4

+

m2

3

=1，解得m=

3

2

，∴A(1，

3

2

)．
設直線AE的方程為y=k(x-1)+

3

2

，
代人橢圓方程得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則1×x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，
可得x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y1=kx1+

3

2

-k，
把上面的斜率k換成-k即可得出
x2=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y1=-kx1+

3

2

+k，
故kEF=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

=

1

2

為定值．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線的定義、標準方程及其性質，直線與曲線相交問題轉化為方程聯立得到一元二次方程的根與系數的關系、直線的斜率計算公式，需要較強的推理能力和計算能力．