Question

【題目】已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，，當(dāng)時(shí)，.

(1)判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；

(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)為奇函數(shù)；(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；(3).

【解析】

（1）令，代入抽象函數(shù)表達(dá)式即可證明函數(shù)的奇偶性；

（2）先證明當(dāng)時(shí)，，再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義，證明函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，即可得到函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）先利用賦值法求得再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可

解：（1）令，則.

∵，∴

∴函數(shù)為奇函數(shù)；

(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減.

證明如下：

由函數(shù)為奇函數(shù)得

當(dāng)時(shí)，，，

所以當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，則，∴，

于是，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.

(3)∵，且，∴

又∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴

∵，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

又當(dāng)時(shí)，.

∴，即，

故的取值范圍為.