Question

關于函數(shù)f(x)=(x≠0,x∈R)，有下列命題：①函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱；②當x＞0時，f(x)是增函數(shù)；當x＜0時，f(x)是減函數(shù)；③函數(shù)f（x）的最小值是lg2；④當-1＜x＜0或x＞1時，f(x)是增函數(shù).

其中正確命題的序號是_____________.（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

解析：易知f(x)是偶函數(shù)，

∴y=f(x)的圖象關于y軸對稱，故命題①正確.

∵=|x|+≥2,等號當且僅當x=±1時成立，

∴f(x)的最小值為lg2.故命題③正確.

∵f(x)是偶函數(shù)，故只需研究f(x)在?(0,+∞)上的單調(diào)性,x∈(0,+∞)時，f(x)=lg()=lg(x+)，

∵x+在x∈(0,1］上是減函數(shù)，在x∈［1,+∞)上是增函數(shù),

∴f(x)在（0,1］上是減函數(shù)，在［1，+∞）上是增函數(shù).

∵偶函數(shù)在其對稱區(qū)間單調(diào)性相反，

故f(x)在［-1,0］上為增函數(shù).

于是得命題④正確，命題②不正確.對于命題②也可以用特殊值加以否定：如取x=，2，易知有f()=f(2),故f(x)在（0，+∞）上不是增函數(shù).

答案:①③④.