Question

16．y=$\frac{2-cosx}{sinx}$，x∈（0，π）的值域?yàn)閇$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 這里是采用了換元的方法求解的，先將式子兩邊同時(shí)平方，將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)換成余弦函數(shù)，再利用換元的方法求出函數(shù)的值域．

解答 解：將式子兩邊平方得y²=（$\frac{2-cosx}{sinx}$）²化簡(jiǎn)得（y²+1）cosx²-4cosx+4-y²=0，
令t=cosx，則t∈（-1，1），f（t）=（y²+1）t²-4t+4-y²，對(duì)稱軸t=$\frac{2}{{y}^{2}+1}$
所以要使方程在區(qū)間（-1，1）上有根，必需滿足$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（{y}^{2}+1）（4-{y}^{2}）≥0}\\{f（-1）={y}^{2}+1+4+4-{y}^{2}＞0}\end{array}\right.$
解得y²≥3，又y＞0，所以y≥$\sqrt{3}$．
故答案為：[$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是含有三角函數(shù)式子的值域問(wèn)題，可以利用三角函數(shù)的有界性來(lái)解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解，還可能采用換元的方法解．