Question

7．討論函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$（a≠$\frac{1}{2}$）在（-2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先將f（x）變成：f（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差并討論a的取值即可判斷f（x₁），f（x₂）的大小，從而判斷f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性

解答 解：f（x）=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=a+$\frac{1-2a}{x+2}$；
設(shè)x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂；
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（1-2a）{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}+2）{（x}_{2}+2）}$；
∵x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂；
∴（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₂-x₁＞0；
∴若1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$時，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增；
若1-2a＞0，即a＜$\frac{1}{2}$時，f（x₁）＞f（x₂），∴此時f（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 考查分離常數(shù)法化簡f（x），以及函數(shù)的單調(diào)性定義，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義討論f（x）單調(diào)性的過程．