Question

已知函數(shù)，其中為實數(shù)，常數(shù).

(1) 若是函數(shù)的一個極值點，求的值；

(2) 當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

(3) 當取正實數(shù)時，若存在實數(shù)，使得關于的方程有三個實數(shù)根，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；

（2）的單調增區(qū)間是，；的單調減區(qū)間是，，；

（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先對求導，由于是函數(shù)的一個極值點，所以，解出a的值，需驗證，當時，是否有極值點；第二問，把代入，對求導，利用，解不等式，解出函數(shù)的單調遞增遞減區(qū)間；第三問，對求導，令，討論三種情況，來決定方程有沒有根，再分別數(shù)形結合看與的圖象是否有三個交點.

試題解析：(1) （2分）

因為是函數(shù)的一個極值點，所以，

即.

而當時，，

可驗證：是函數(shù)的一個極值點.因此. （4分）

(2) 當時，

令得，解得，而.

所以當變化時，、的變化是

			極小值			極大值

 

因此的單調增區(qū)間是，；

的單調減區(qū)間是，，； （9分）

(3) 當取正實數(shù)時，，

令得，

當時，解得.

在和上單調遞增，在上單調遞減，

但是函數(shù)值恒大于零，極大值，極小值，并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當時，，當時，.因此當時，關于的方程一定總有三個實數(shù)根，結論成立；

當時，的單調增區(qū)間是，無論取何值，方程最多有一個實數(shù)根，結論不成立.

因此所求的取值范圍是. （12分）

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值.