Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在直線y=3x+4上．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）令b_n=na_n（n∈N⁺），試求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）由點（a_n，S_n）在直線y=3x+4上，得S_n=3a_n+4，又S_n+1=3a_n+1+4，兩式相減可得數列遞推式，根據遞推式可判斷該數列為等比數列，從而可求a_n；
（2）由（1）表示出b_n，利用錯位相減法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵點（a_n，S_n）在直線y=3x+4上，
∴S_n=3a_n+4，S_n+1=3a_n+1+4，
兩式相減，得a_n+1=S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n，化簡得2a_n+1=3a_n，
數列{a_n}為等比數列，公比q=

3

2

，
由S₁=a₁=3a₁+4，得a₁=-2，
故a_n=a₁q^n-1=-2(

3

2

)n-1（n∈N^*）．
（2）∵b_n=na_n=-2n(

3

2

)n-1（n∈N⁺），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=-2[1+2×

3

2

+3×(

3

2

)2+4×(

3

2

)3+…+（n-1）×(

3

2

)n-2+n×(

3

2

)n-1]，①

3

2

×Tn=-2[

3

2

+2×(

3

2

)2+3×(

3

2

)3+4×(

3

2

)4+…+(n-1)×(

3

2

)n-1+n×(

3

2

)n]，②
①-②得-

1

2

T_n=-2[1+

3

2

+(

3

2

)2+(

3

2

)3+…+(

3

2

)n-1-n×(

3

2

)n]，
T_n=4[1+

3

2

+(

3

2

)2+(

3

2

)3+…+(

3

2

)n-1-n×(

3

2

)n]
=4×

1-( 3 2 )n

1- 3 2

-4n×(

3

2

)n=4（2-n）•(

3

2

)n-8（n∈N^*）．

點評：本題考查由遞推式求數列通項、等比數列的概念及數列求和，錯位相減法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．