Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大��；ks5u

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域是，

， ks5u

令，得_或．  …2分

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

    ∴函數(shù)、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．………5分

  （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?sub>．

      令，

       ，

       在上是增函數(shù)．              …………………………7分

①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．  …………………………………9分

（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，   

． ……………12分

，

．                …………………………14分

 （法二）當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．   ……………………10分

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．

 時(shí)，．

根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，

即．

令，則有，

則有，

即時(shí)命題也成立．……………13分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．   ……………………………14分