Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求證：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）取AB中點D，連結PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

∵AC=BC.

∴CD⊥AB.

∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.

∵PC平面PCD，

∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

且AC∩PC=C，

∴BC⊥平面PAC.

取AP中點E,連結BE,CE.

∵AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC內的射影，

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小為aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

∵AC∩BC=C,

∴PC⊥平面ABC.

∵AB平面ABC，

∴PC⊥AB.(Ⅱ)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.

則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

設P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2，

∴t=2,P(0,0,2).

取AP中點E，連結BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小為arccos