Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是滿足f（x）-f（-x）=0，在（-∞，0]上總有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則不等式f（2x-1）＜f（3）的解集為（-1，2）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）在（-∞，0]是減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．則由不等式f（2x-1）＜f（3），可得-3＜2x-1＜3，由此求得x的范圍．

解答 解：∵f（x）-f（-x）=0，故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∵在（-∞，0]上總有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即圖象上任意兩點(diǎn)的斜率小于零，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0]是減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
則由不等式f（2x-1）＜f（3），可得-3＜2x-1＜3，求得-1＜x＜2，
故不等式的解集為（-1，2），
故答案為：（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．