Question

已知A={x|x²-4x+3≤0}，B={x|x²+mx+n＜0}，且A∩B≠∅，A∪B={x|1≤x＜4}，則m²-

5

2

n的取值范圍為（　�。�

• A、[15，19]
• B、[14，18]
• C、[15，19）
• D、[14，18）

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算,并集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先化簡集合A=[1，3]，由A∩B≠∅，A∪B={x|1≤x＜4}，得到x=4是方程x²+mx+n=0的一個(gè)根，并且對函數(shù)f（x）=x²+mx+n在[1，3）上一個(gè)根，得到關(guān)于m的不等式，求出m的范圍，然后將m²-

5

2

n化為關(guān)于m的二次函數(shù)，求其值域．

解答： 解：由題意，A=[1，3]，
∵A∩B≠∅，A∪B={x|1≤x＜4}，
∴x=4是方程x²+mx+n=0的一個(gè)根，即16+4m+n=0，并且另一個(gè)根在[1，3）上一個(gè)根，
∴設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mx+n，則f（1）f（3）≤0，其中f（3）≠0，
∴

n=-16-m (1+m+n)(9+3m+n)≤0 9+3m+n≠0

，
解得-7＜m≤-5，
∴m²-

5

2

n=m²-

5

2

（-16-4m）=m²+10m+40在（-7，-5]上單調(diào)遞減，并且m=-7時(shí)m²-

5

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n的最大值為19，m=-5時(shí)，m²-

5

2

n的最小值為15；
∴m²-

5

2

n的取值范圍為[15，19），
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了集合的運(yùn)算以及二次函數(shù)在區(qū)間的值域的求法．