Question

7．在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，且|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AD}$|=2，O是平面ABCD內(nèi)任一點，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，當點P在以A為圓心，|$\overrightarrow{AC}$|為半徑的圓上時，有（　�。�

• A． x²+4y²-2xy=3
• B． x²+4y²+2xy=3
• C． 4x²+y²-2xy=3
• D． 4x²+y²+2xy=3

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件利用余弦定理，求得對角線|$\overrightarrow{AC}$丨，根據(jù)向量加法和減法的三角形法則可得$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，兩邊平方即可求得結果．

解答 解：∵在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，AB=1，BC=AD=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠ABC}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∵點P在以A為圓心，|$\overrightarrow{AC}$丨為半徑的圓上，
∴$\overrightarrow{AP}$²=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$）²，
即3=x²+4y²+2xy$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=x²+4y²-2xy，
故選：A．

點評 此題考查余弦定理和向量的減法的三角形法則以及向量的數(shù)量積的定義，其中把已知條件化簡為$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，是解題的關鍵，屬中檔題．