Question

與直線y=kx切于點(

6

5

，

8

5

)，與x軸相切，且圓心在第一象限內(nèi)的圓的標準方程為

（x-2）²+（y-1）²=1

．

Answer 1

分析：設(shè)出圓心A的坐標為（a，b），且根據(jù)圓心在第一象限得到a與b都大于0，再根據(jù)圓與x軸相切，得到圓的半徑等于b，利用兩點間的距離求出圓心到切點的距離，使求出的距離等于半徑b，列出關(guān)于a與b的方程，記作①，又把切點坐標代入直線y=kx確定出k的值，從而得到直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，使d等于圓的半徑b，列出a與b的另一個關(guān)系式，記作②，把②代入①消去a得到關(guān)于b的一元二次方程，求出方程的解即可得到b的值，把b的值代入②可得a的值，從而確定出圓心坐標及圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答：解：設(shè)圓心A坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），
由圓與x軸相切得到圓的半徑r=|b|=b，
又圓與直線y=kx切于點B(

6

5

，

8

5

)，得到|AB|=r，
即

(a- 6 5 )2+(b- 8 5 )2

=b，即5a²-12a-16b+20=0①，
又(

6

5

，

8

5

)在直線y=kx上，代入直線可得k=

4

3

，
所以直線方程為y=

4

3

x，即4x-3y=0，
所以圓心到直線的距離d=

|4a-3b|

5

=b，
即（2a+b）（a-2b）=0，
∵2a+b≠0，∴a-2b=0，即a=2b②，
把②代入①得：b²-2b+1=0，即（b-1）²=0，解得b=1，
把b=1代入②得：a=2，
所以圓心坐標為（2，1），半徑r=1，
則圓的標準方程為：（x-2）²+（y-1）²=1．
故答案為：（x-2）²+（y-1）²=1

點評：此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，用到的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，方程及轉(zhuǎn)化的思想，要求學(xué)生會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系的判定方法有：當0≤d＜1時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．