Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）．

若函數(shù)在處取得極值，求的值；

在的條件下，求證：；

當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）顯然首先求導(dǎo)可得：，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)在處取得極值，所以；（2）根據(jù)題意可得由（1）已知：，可令一新函數(shù)，觀察它的特點(diǎn)，易得要利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行處理，即：，可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，所以成立；（3）由知，，采用參數(shù)分離的方法可得：恒成立等價(jià)于在時(shí)恒成立，又令一新函數(shù)，，有，所以在上是增函數(shù)，有，所以可求得：.

試題解析：（1），由題意可得，解得

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)在處取得極值，所以 (3分)

（2）證明：由（1）知，

令

由，

可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

所以，所以成立 (8分)

（3）由知，

所以恒成立等價(jià)于在時(shí)恒成立

令，，有，

所以在上是增函數(shù)，有，所以. (12分)

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值