Question

已知圓C：x²+y²=4，直線l：x+y=b．
（1）b為何值時(shí)直線l和圓相切，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）b為何值時(shí)直線l和圓相交，并求出弦長．

Answer 1

分析：聯(lián)立圓C與直線l的方程組成方程組，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，表示出根的判別式，
（1）當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，根的判別式等于0，求出此時(shí)b的值，此時(shí)由直線l的方程及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系求出與切線方程垂直的直線方程的斜率，又根據(jù)垂徑定理得到該直線過原點(diǎn)，得到切點(diǎn)在直線y=x上，求出此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）當(dāng)直線l與圓相交時(shí)，根的判別式大于0，列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范圍，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，即為弦心距，再由圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理求出弦長的一半，可得出此時(shí)的弦長．

解答：解：聯(lián)立圓與直線的方程得：

x+y=b x2+y2=4

，
消去y得：2x²-2bx+（b²-4）=0，
∴△=-4b²+32，
（1）當(dāng)△=0，即b=±2

2

時(shí)，直線l和圓相切，設(shè)切點(diǎn)為A，
又直線l方程為x+y=b的斜率為-1，
∴過A于切線方程垂直直線方程的斜率為1，又該直線過原點(diǎn)，
∴切點(diǎn)一定在直線y=x上，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

，

2

)或(-

2

，-

2

)；
（2）當(dāng)△＞0，可得b²＜8，即-2

2

＜b＜2

2

時(shí)，直線l和圓相交，
∵圓心到直線的距離為

|b|

2

，又r=2，
則所求弦長為2

22-( |b| 2 )2

=

16-2b2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，是一道中檔題．