Question

2．已知a＞0且a≠1，則使關(guān)于x的方程log_a（x-2ak）=log_a（x²-a²）有解的k的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜k＜$\frac{1}{2}$或k$＜-\frac{1}{2}$
• B． 0＜k＜1或k＜-1
• C． 0＜k＜2或k＜-2
• D． 0＜k＜1或k＜-2

Answer 1

分析 a＞0且a≠1，使關(guān)于x的方程log_a（x-2ak）=log_a（x²-a²）有解，可得x-2ak=x²-a²＞0．由x²-x+2ak-a²=0有實數(shù)根，則△≥0，化為k≤$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{a}+4a）$，利用基本不等式的性質(zhì)可得k≤$\frac{1}{2}$．分類討論$\left\{\begin{array}{l}{0≤k≤\frac{1}{2}}\\{x＞2ak}\\{x＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{x＞2ak}\\{x＜-a}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：∵a＞0且a≠1，使關(guān)于x的方程log_a（x-2ak）=log_a（x²-a²）有解，
∴x-2ak=x²-a²＞0，（*）
由x²-x+2ak-a²=0有實數(shù)根，
則△=1-4（2ak-a²）≥0，化為k≤$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{a}+4a）$，∵a＞0，a≠1，∴$\frac{1}{a}+4a$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•4a}$=4，當且僅當a=$\frac{1}{2}$時取等號，∴k≤$\frac{1}{2}$．
$\left\{\begin{array}{l}{0≤k≤\frac{1}{2}}\\{x＞2ak}\\{x＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{x＞2ak}\\{x＜-a}\end{array}\right.$，
解得$0＜k＜\frac{1}{2}$或$k＜-\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．