Question

5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分別為棱C₁C，B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求二面角B-A₁D-A的平面角的余弦值；
（2）在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定點(diǎn)F的位置并證明結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，則法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值為所求二面角的余弦值；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)F滿(mǎn)足條件，設(shè)F（0，a，0），令$\overrightarrow{EF}$與平面A₁BD的法向量平行即可求出a，得出F的位置．

解答 解：（1）以C為原點(diǎn)，以CB，CA，CC₁為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，2，2）．
設(shè)平面A₁BD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+z=0}\\{-2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2）．
∵BC⊥平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
由圖可知，二面角B-A₁D-A的平面角為銳角，
∴二面角B-A₁D-A的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（2）假設(shè)在線(xiàn)段AC上存在一點(diǎn)F使得EF⊥平面A₁BD．則$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{n}$．
設(shè)F（0，a，0）（0≤a≤2），則$\overrightarrow{EF}$=（-1，a，-2），
∴（-1，a，-2）=k（1，-1，2）．即$\frac{-1}{1}=\frac{a}{-1}=\frac{-2}{2}$，
∴a=1．
∴在線(xiàn)段AC上存在一點(diǎn)F使得EF⊥平面A₁BD，此時(shí)點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的應(yīng)用，線(xiàn)面垂直的判定與二面角的計(jì)算，屬于中檔題．