Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x-a．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，求實數(shù)a的解集；
（3）若f（x）在區(qū)間（0，2a]上的最小值為-5a，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²-4x-1的圖象是開口朝上，且以直線x=2為對稱軸的拋物線，進而可得曲線y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，函數(shù)f（x）區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，結合二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．
（3）由已知區(qū)間可得a＞0，此時函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x-a的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{a+3}{2a}$為對稱軸的拋物線，分類討論滿足條件的a值，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²-4x-1的圖象是開口朝上，且以直線x=2為對稱軸的拋物線，
此時函數(shù)在（-∞，2]上為減函數(shù)，在[2，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，
則函數(shù)f（x）區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
當a=0時，f（x）=-3x滿足要求；
當a≠0時，由函數(shù)f（x）區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
可得：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{a+3}{2a}≤0\end{array}\right.$，解得：-3≤a＜0，
綜上，滿足條件的實數(shù)a的解集為：[-3，0]，
（3）∵f（x）在區(qū)間（0，2a]上的最小值為-5a，
故2a＞0，即a＞0，
此時函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x-a的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{a+3}{2a}$為對稱軸的拋物線，
若2a≤$\frac{a+3}{2a}$，則0＜a≤1，此時當x=2a時，函數(shù)f（x）取最小值，即a（2a）²-（a+3）（2a）-a=-5a，解得：a=1，
若2a＞$\frac{a+3}{2a}$，則a＞1，此時當x=$\frac{a+3}{2a}$時，函數(shù)f（x）取最小值，即a（$\frac{a+3}{2a}$）²-（a+3）（$\frac{a+3}{2a}$）-a=-5a，此時不存在滿足條件的a值，
綜上所述，a=1

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關鍵．