Question

8．太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，俗稱陰陽魚．太級圖形展現了一種互相轉化，相對統一的形式美、和諧美．現在定義：能夠將圓O的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓O的“太極函數”，給出下列命題：
p₁：對于任意一個圓O，其對應的“太極函數”不唯一；
p₂：f（x）=e^x+e^-x可能是某個圓的一個“太極函數”；
p₃：圓O：（x-1）²+y²=36的一個“太極函數”為f（x）=-ln$\frac{5+x}{7-x}$；
p₄：“太極函數”的圖象一定是中心對稱圖形．
其中正確的命題是（　�。�

• A． p₁，p₂
• B． p₁，p₃
• C． p₂，p₃
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 根據新定義得關于圓心對稱的函數為太極函數，而太極函數不一定關于圓心對稱．

解答 解：（1）由定義可知過圓O的任一直線都是圓O的太極函數，故p₁正確；
（2）∵f（x）=e^x+e^-x是偶函數，∴f（x）不可能是某個圓的太極函數．故p₂錯誤；
（3）令$\frac{5+x}{7-x}$=1得x=1，∴f（x）=-ln$\frac{5+x}{7-x}$經過圓O的圓心（1，0）；
設P（x，y）是f（x）圖象上一點，則P關于（1，0）的對稱點P′（2-x，-y）．
f（2-x）=-ln$\frac{7-x}{5+x}$=ln$\frac{5+x}{7-x}$=-y，∴f（x）關于（1，0）對稱，
∴f（x）為圓O：（x-1）²+y²=36的一個“太極函數”，故p₃正確；
（4）太極函數的圖象一定過圓心，但不一定是中心對稱圖形．例如：

故選：B．

點評 本題考查了對新定義的理解，函數的圖象應用，屬于中檔題．