Question

如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形

（1）      求證：AD^BC

（2）      求二面角B－AC－D的大小

（3）      在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD

成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

解法一：

（1）       方法一：作AH^面BCD于H，連DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC  \BD^DC

又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BC\AD^BC

方法二：取BC的中點O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD

（2）       作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝\M是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos

（3）       設E是所求的點，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，FD＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，則CE＝x＝1

故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角。

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略