Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(3,0).

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若直線l₁:y=kx+與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且＞2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0).

由已知,得a=,c=2,

再由a²+b²=2²,得b²=1.

故雙曲線C的方程為-y²=1.

(2)將y=kx+2代入-y²=1,得

(1-3k²)x²-6kx-9=0.

由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),得

即k²≠且k²＜1.                                                              ①

設(shè)A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),則

x_A+x_B=,x_Ax_B=-,

由＞2,得x_Ax_B+y_Ay_B＞2,

而x_Ax_B+y_Ay_B

=x_Ax_B+(kx_A+)(kx_B+)

=(k²+1)x_Ax_B+k(x_A+x_B)+

=(k²+1)·-·k+2

=.

于是＞2,即＞0,解此不等式得＜k₂＜3.                             ②

由①②得＜k²＜1,

故k的范圍是(-1,-)∪(,1).