Question

中心在原點的橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心，離心率為

1

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）橢圓E上是否存在一點P，使得過P點的兩條斜率之積為

1

2

的兩條直線l1、l2，與圓C相切？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定x²+y²-4x+2=0的圓心C（2，0），可得c=2，利用離心率為

1

2

，即可求得橢圓E的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=

1

2

，由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切，可得k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的兩個實根，結(jié)合P在橢圓上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圓心C（2，0）
∵橢圓的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心，離心率為

1

2

．
∴c=2，

c

a

=

1

2

，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴橢圓E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則l₁：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂：y-y₀=k₂（x-x₀），且k₁k₂=

1

2

由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切得

|2k1+y0-k1x0|

k12+1

=

2

∴[（2-x₀）²-2]k₁²+2（2-x₀）y₀k₁+y₀²-2=0
同理可得[（2-x₀）²-2]k₂²+2（2-x₀）y₀k₂+y₀²-2=0
從而k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的兩個實根
所以

(2-x0)2-2≠0 △＞0

①，且k₁k₂=

y02-2

(2-x0)2-2

=

1

2

∵

x02

16

+

y02

12

=1，
∴5x₀2-8x₀-36=0，
∴x₀=-2或x₀=

18

5

由x₀=-2得y₀=±3；由x0=

18

5

得y₀=±

57

5

滿足①
故點P的坐標為（-2，3）或（-2，-3），或（

18

5

，

57

5

）或（

18

5

，-

57

5

）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，解題的關(guān)鍵是確定k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的兩個實根．