Question

6．向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）（α、β∈R且α、β、α+β均不等于$\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$）．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$ 且 $\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$）時(shí)，求tanα+tanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出模長(zhǎng)|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的共線定理與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求出tanαtanβ和tan（α+β）的值，即可求出tanα+tanβ的值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ），
∴$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），…（2分）
∴|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（sinβ+cosβ）}^{2}{+（4cosβ-4sinβ）}^{2}}$=$\sqrt{17-15sin2β}$$≤\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$β=-\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$時(shí)取等號(hào)，…（5分）
∴|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最大值為$4\sqrt{2}$；…（6分）
（Ⅱ）向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，4cosβ），
當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時(shí)，16cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∴tanαtanβ=16①；…（8分）
由 $\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$），得 $\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$）=0，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
∴sin（α+β）=2cos（α+β）…（11分）
∴tan（α+β）=2②；
由①②得：
tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）=2×（1-16）=-30．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模長(zhǎng)公式以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．