Question

8．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），M是橢圓上一點(diǎn)，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，A₁、A₂分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA₁，PA₂與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試證：以EF為直徑的圓交x軸于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，設(shè)|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=n．又|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．可得m²+n²=$（2\sqrt{5}）^{2}$，m+n=2a，mn=8，a²=b²+5．解出即可得出．
（2）由（1）得A₁（-3，0），A₂（3，0），設(shè)P（x₀，y₀），則直線PA₁的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點(diǎn)的坐標(biāo)為E，直線PA₂的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點(diǎn)的坐標(biāo)為F．再設(shè)以EF為直徑的圓交x軸于點(diǎn)Q（m，0），則QE⊥QF，可得k_QE•k_QF=-1，又$\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}$=9$-{x}_{0}^{2}$．即可得出．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，設(shè)|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=n．又|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．
∴m²+n²=$（2\sqrt{5}）^{2}$，m+n=2a，mn=8，a²=b²+5．
解得：a=3，b=2．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由（1）得A₁（-3，0），A₂（3，0），設(shè)P（x₀，y₀），則直線PA₁的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點(diǎn)的坐標(biāo)為E$（\frac{3\sqrt{5}}{2}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}×\frac{3\sqrt{5}+6}{2}）$，
直線PA₂的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點(diǎn)的坐標(biāo)為F$（\frac{3\sqrt{5}}{2}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}×\frac{3\sqrt{5}-6}{2}）$．
再設(shè)以EF為直徑的圓交x軸于點(diǎn)Q（m，0），則QE⊥QF，
從而k_QE•k_QF=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$×$\frac{3\sqrt{5}+6}{2}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$$\frac{3\sqrt{5}-6}{2}$=-$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$，
即$\frac{\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$，又$\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}$=9$-{x}_{0}^{2}$．
∴$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$=1，解得m=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$±1．
故以EF為直徑的圓交x軸于定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{3\sqrt{5}}{2}±1，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、勾股定理、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．