Question

9．a(chǎn)＞0且a≠$\frac{1}{2}$，求g（x）=lnx-ax-$\frac{a-1}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 求得函數(shù)g（x）的導數(shù)，分解因式，討論當a＞$\frac{1}{2}$，當0＜a＜$\frac{1}{2}$，求出單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最大值．

解答 解：g（x）=lnx-ax-$\frac{a-1}{x}$的導數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$-a+$\frac{a-1}{{x}^{2}}$
=$\frac{x-a{x}^{2}+a-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（ax-1+a）}{{x}^{2}}$，
當a＞$\frac{1}{2}$，即1＞$\frac{1-a}{a}$，即有g(shù)′（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
即g（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞減，可得g（x）的最大值為g（1）=ln1-a-（a-1）=1-2a；
當0＜a＜$\frac{1}{2}$，即1＜$\frac{1-a}{a}$，可得g（x）在[1，$\frac{1-a}{a}$）遞增；在（$\frac{1-a}{a}$，+∞）遞減，
可得g（x）的最大值為g（$\frac{1-a}{a}$）=ln$\frac{1-a}{a}$-a•$\frac{1-a}{a}$-（a-1）•$\frac{a}{1-a}$=ln$\frac{1-a}{a}$-1+2a．
綜上可得，當a＞$\frac{1}{2}$，g（x）的最大值為1-2a；
當0＜a＜$\frac{1}{2}$，g（x）的最大值為ln$\frac{1-a}{a}$-1+2a．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用導數(shù)判斷單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．