Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有S_n=2a_n-1．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n═2^n-1+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=2^n-1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-1，可得n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），
即有a_n=2a_n-1，則a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=a_n+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=2^n-1+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=2^n-1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為（1+2+…+2^n-1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=2ⁿ-1+$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和分組求和，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．