Question

已知常數(shù)a＞1，變數(shù)x、y有關(guān)系：3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），試以a、t表示y．
（2）t∈[1，+∞）時，y有最小值8，求此時a和x的值．

Answer 1

分析：（1）、利用對數(shù)的換底公式可知：x=a^t（t≠0），由3log_xa+log_ax-log_xy=3得

3

t

+t-

1

t

loga y=3，再由指數(shù)和對數(shù)的轉(zhuǎn)化公式進行合理轉(zhuǎn)化，把對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)；
（2）、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)t∈[1，+∞）時，t²-3t+3=(t-

3

2

)2+

3

4

有最小值

3

4

，此時t=

3

2

，且y有最小值a

3

4

=8，據(jù)此能求出此時a和x的值．

解答：解：（1）．∵x=a^t（t≠0），∴由3log_xa+log_ax-log_xy=3得

3

t

+t-

1

t

loga y=3，∴l(xiāng)og_ay=t²-3t+3，∴y=at2-3t+3，t≠0．
（2）．當(dāng)t∈[1，+∞）時，t²-3t+3=(t-

3

2

)2+

3

4

有最小值

3

4

，此時t=

3

2

，且y有最小值a

3

4

=8，解得a=16．所以t∈[1，+∞）時，y有最小值8，此時a=16和x=16

3

2

=64.

點評：適當(dāng)?shù)亟柚�指�?shù)函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合效果會更好．