Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（1，

3

2

）
（Ⅰ）橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，求|MN|的長；
（2）求△MF₁N的內(nèi)切圓的面積的最大值，并求出當(dāng)△MF₁N的內(nèi)切圓的面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的焦距2c=1結(jié)合隱含條件得關(guān)于a，b的一個方程，再由橢圓過點P（1，

3

2

）得另一方程，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（1）寫出直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立后由弦長公式求得|MN|的長；
（2）設(shè)出直線l的方程x=my+1，和橢圓方程聯(lián)立，得到當(dāng)S△MF1N最大時，r也最大，△MF₁N的內(nèi)切圓面積也最大，利用根與系數(shù)關(guān)系把△MF₁N的面積轉(zhuǎn)化為含有m的代數(shù)式，換元后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性求得最值并得到直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得a²-b²=c²=1，且

1

a2

+

9 4

b2

=1，
解得：a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）（1）直線l的方程為y=x-1，
聯(lián)立

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，消去x得，7x²-8x-8=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

．
∴|MN|=

1+1

|x1-x2|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

( 8 7 )2+4× 8 7

=

24

7

；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得
（3m²+4）y²+6my-9=0．
△=（6m）²+36（3m²+4）=144m²+144＞0．
y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．
設(shè)△MF₁N的內(nèi)切圓半徑為r，由S△MF1N=

1

2

(|MF1|+|NF1|+|MN|)•r=4r可知，
當(dāng)S△MF1N最大時，r也最大，△MF₁N的內(nèi)切圓面積也最大．
由S△MF1N=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 m2+1

3m2+4

．
令t=

m2+1

，則t≥1，且m²=t²-1，則S△MF1N=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

．
令f（t）=3t+

1

t

，(t≥1)，
則f′(t)=3-

1

t2

＞0，從而f（t）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故有f（t）≥f（1）=4．
∴S△MF1N≤3．
即當(dāng)t=1，m=0時，S△MF1N有最大值3，即rmax=

3

4

．
這時△MF₁N的內(nèi)切圓面積的最大值為

9

16

π，直線l的方程為x=1．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．