Question

（本小題16分）設(shè)雙曲線：的焦點(diǎn)為F₁,F₂.離心率為2。

（1）求此雙曲線漸近線L₁,L₂的方程；

（2）若A,B分別為L₁,L₂上的動點(diǎn)，且2,求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

 

Answer 1

【答案】

（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a²=1,   ……2分

所以雙曲線的方程為，                    ……4分

所以漸近線L₁,L₂的方程為和＝0             ……6分

（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10                        ……8分

設(shè)A在L₁上，B在L₂上，設(shè)A（x₁，，B(x₂，－      

所以即    ……10分

設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則x＝，y＝

所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y 

所以整理得：                   ……14分

所以線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。    ……16分

【解析】

試題分析：（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a²=1,   ……2分

所以雙曲線的方程為，                    ……4分

所以漸近線L₁,L₂的方程為和＝0             ……6分

（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10                        ……8分

設(shè)A在L₁上，B在L₂上，設(shè)A（x₁，，B(x₂，－      

所以即    ……10分

設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則x＝，y＝

所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y 

所以整理得：                   ……14分

所以線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。    ……16分

考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，軌跡方程的求法。

點(diǎn)評：點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程．中檔題。