Question

21.如圖，已知四棱P－ABCD,PB⊥AD,側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120

    （Ⅰ）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

　　（Ⅱ）求面APB與面CPB所成二面角的大小.

Answer 1

21.本小題主要考查組合、概率等基本概念，獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

　　�。á瘢┙猓喝鐖D，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O.

連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE.

∵AD⊥PD，∴AD⊥OB，

∵PA＝PD，∴OA＝OD，

于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB＝120，∠PEO＝60.

由已知可求得PE＝，

∴PO＝PE·sin60=×=,

即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為.

（Ⅱ）解法一：

如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA.

P(0,0,)，B（0,,0），PB中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,,），連結(jié)AG.

又知A（1，，0），C（－2，，0）.

由此得到：=(1,－,－),

=(0,,－),=(－2,0,0).

于是有·＝0,·＝0，

所以⊥,⊥.,的夾角等于所求二面角的平面角,

于是 cos==－,

所以所求二面角的大小為π－arccos.

解法二：如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF，則AG⊥PB，

FG∥BC，FG＝BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE＝BE，∴EG⊥PB，且∠PEG＝60.

在Rt△PEG中，EG＝PE·cos60＝，

在Rt△GAE中，AE=AD=1,

于是tanGAE==,

又∠AGF=π－∠GAE，

所以所求二面角的大小為π－arctan.